建模思想在小学数学教学中的渗透策略研究

——以《鸽巢问题》教学为例

固原市隆德第一小学数学教研组

【内容摘要】在小学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，培养学生用数学的意识以及分析和解决实际问题的能力。数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”、“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。因此，在小学数学教学中应该通过“创设情境，提高学生的学习兴趣，感知数学建模思想；充分发挥学生的主动性，让学生参与探究，主动建构数学模型；解决问题，体会数学模型的实际应用价值，拓展应用数学模型。”等策略有意识地向学生渗透数学建模思想，来增强学生数学观念，提高学生对数学价值的认识。

【关键词】小学数学    建模思想    渗透策略 

数学建模思想是《课程标准（2011版）》中所说的“数学的基本思想”中的三大数学思想之一，就是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。《标准》指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”，这实际上就是把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程，并在建模过程中培养学生的数学应用意识，引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。课标明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。基于以上认识，我校数学教研组提出了《建模思想在小学数学教学中的渗透策略研究》的专题研究。

本课题期望解决以下问题：

1、转变教师课堂教学观念，改变教师内在的教育理念，使课标的理念，在课堂教学中有更好地体现。

2、通过课堂教学实践，让学生在初步掌握数学建模思想的基础上，逐步学会用数学的思考方式去分析与解决问题，提高学生的数学素养。

3、探索出在数学课堂教学中渗透“数学模型”思想的具体策略。

一、研究内容

1、真正意义上发挥学生的主体作用，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。

2、进一步探索如何处理好数学知识的教学和建模思想渗透之间的关系，探索有效的进行数学建模思想渗透的具体策略。

3、举行公开课，探索如何在课堂教学中渗透思想方法，发挥课题组在数学教研中的引领作用。

二、研究目标

1、改变教师课堂教学的“解决例题——学习方法——巩固练习”现状。

2、通过实践研究，探索出在小学数学课堂教学中行之有效、可操作的渗透“数学建模思想”的具体策略。

3、培养学生的学习兴趣，养成用数学的眼光看待和分析周围的事物的习惯和能力。

4、通过课堂教学实践，让学生在初步掌握数学建模思想的基础上，逐步学会用数学的思考方式去分析与解决问题，增强应用意识，提高学生的数学核心素养。

三、研究思路及过程：

（一）研究思路

数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”、“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展。”小学数学建模思想的渗透应通过“问题情境——构建模型——解释应用”为途径，逐步加强学生数学建模思想方法的意识和能力培养，大力挖掘数学建模思想在小学数学中的作用和价值，经过多层面理性思索和实施验证，参考文献，调查分析，积累研究个案，总结经验，形成比较有效的渗透小学数学建模思想的策略。因此，我们的研究思路为：

1、认真学习《数学课程标准（2011年版）》将课标精神内化，进行有效的教学设计。

2、充分阅读《义务教育课程标准（2011年版）解读》、《作为教育任务的数学思想与方法》、《义务教育学科教学指导》（小学数学）、《数学思想概论》《感受小学数学思想的力量》，利用其中心内涵，充实自己的教学理论。

3、及时进行教学正思与反思，总结课堂教学中的点滴成功之处，上升为小学数学课堂渗透“数学模型”思想的教学策略。

（二）研究过程

本课题研究时间为一年，主要分为以下三个步骤来具体实施：

1、第一阶段，准备阶段：（2016年 3月—2016年4月）

（1）建立课题组，初步确定研究方案，做好课题研究准备。

（2）收集资料，文献研究。加强理论学习，形成一个数学模型和建立的认识体系。

（3）开题论证，完善研究计划。

2、第二阶段，实施阶段：（2016年4月—2016年12月）

（1）设计、收集比较典型的数学建模的课堂教学案例。以学校数学教研组教师为成员展开课题研究，通过集体备课、教研活动、专题研讨等形式发现问题、解决问题，收集优秀、典型数学建模案例，寻找数学建模的具体策略。

（2）对尝试阶段形成的初步策略进行实践、应用，并根据应用结果，不断修改完善。

3、第三阶段，整理阶段：（2017年1月——2017年3月）

这一阶段为课题总结阶段，主要工作有：通过教研活动等形式推广课题经验，撰写课题研究报告，撰写论文，收集整理案例，汇编典型的小学数学建模教学案例等。

四、研究的结论及解决问题的方法：

1、创设情境，感知数学建模思想。

数学来源于生活，又服务于生活，因此，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景。情景的创设要与社会生活实际、时代热点问题、自然、社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合，让学生感到真实、新奇、有趣、可操作，满足学生好奇好动的心理要求。这样很容易激发学生的兴趣，并在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。

如马越老师教学《鸽巢问题》一课，新课伊始就设计“游戏激趣，初步体验”环节引入新课：“同学们，你们玩过抽奖游戏吗？今天，我们再来玩一次好吗？老师手中的这个抽奖箱中是咱们全班同学的学号，每次抽出3名幸运奖，总共抽三次，被抽中的同学要站到前面来，在抽奖之前老师先猜测一下，每次抽出的3名同学中肯定最少有两个同学的性别是一样的，你们信吗？好，咱们拭目以待！下面老师先请咱们班的班长来抽出第一组幸运奖，依此进行。老师猜对了吗？你们想知道老师是怎么猜出来的吗？其实这里面蕴含着一个很重要的数学原理——鸽巢问题，这节课就让我们一起来探究。”

教师从学生喜欢的“抽奖游戏”开始，让学生初步体验“不管怎么抽，每次抽出的3名同学中至少有2名同学的性别是一样的”，使学生明确这是现实生活中存在的一种现象，激发学生学习的兴趣和求知欲望，从而提出需要研究的数学问题，初步感知鸽巢原理，为后面开展教与学的活动做了铺垫。

本节课鸽巢问题这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在游戏中产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出鸽巢问题这一数学问题的过程就是一次建模的过程。

2、参与探究，主动建构数学模型

数学家华罗庚通过多年的学习、研究经历总结出：对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。

马越老师的这节《鸽巢问题》的教学中，在课堂上放手让学生自主探索，充分发挥学生的主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律，主动建构数学模型。这节课共设计了五次学生自主学习活动让学生参与探究。第一次自主学习活动提出问题：“有4支铅笔，3个盒子，把4支铅笔放进3个盒子了，怎么放？有几种不同的方法”，然后让学生小组合作，进行操作，通过摆一摆、画一画、想一想、议一议，把抽象的说理用图形画在纸上，化抽象为具体，发现并描述、理解了最简单的“鸽巢问题”。第二次自主学习活动让学生汇报方法，通过让学生自己动手操作，用列举法找到4支铅笔放入3个盒子的所有方法，观察总结概括出四种方法的共同点，即总有一个盒子里至少有2支铅笔，让学生充分理解“总有”、“至少”的含义。第三次自主学习活动初步观察规律，让学生充分体会用平均分的好处，用除法算式表示出来，形象直观，便于学生理解，帮助学生初步建立模型。第四次自主学习活动数量积累，发现方法，让学生在这个过程中发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维，逐步建立模型。第五次自主学习活动修改结论，得出规律，当“余下的2只鸽子”时，让学生重点关注“一定在一个鸽笼了吗？如何分配？”，从余数1到余数2，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分，从而完善数学思维，得出规律：“至少数=商+1”，建立数学模型。

因此，在教学过程中我们要避免只有直观、没有抽象或者在直观和抽象之间没有阶梯、没有过渡，缺少递进的过程。而应引导学生主动参与，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动来体验感悟，从直观的问题解决达到渗透抽象的数学建模思想之目的。

3、解决问题，拓展应用数学模型

用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学知识解决问题的能力，让学生体验实际应用带来的快乐。解决问题具体表现在两个方面：一是布置数学题作业，如基本题、变式题、拓展题等；二是生活题作业，让学生在实际生活中应用数学。通过应用真正让数学走入生活，让数学走近学生。用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学问题，培养学生的数学意识，提高学生的数学认知水平，又可以促进学生的探索意识、发现问题意识、创新意识和实践意识的形成，使学生在实际应用过程中认识新问题，同化新知识，并构建自己的知识系统。

对规律的认识是循序渐进的。马越老师的这节《鸽巢问题》的教学中，设计了“生活中的数学”环节，应用“鸽巢问题”，感受数学魅力。马老师先介绍刚才发现的规律称之为“鸽巢问题”，又叫做“鸽巢原理”，也称之为“抽屉原理”，让学生看有关“鸽巢问题”的资料，感受古代数学文化。然后通过4道练习题，利用模型解决问题，找准谁是抽屉，谁是物体，用抽屉原理解决具体问题进行建模，让学生体会抽屉的形式是多种多样的。

又如连冠英老师执教的五年级上册《植树问题》一课时的回顾反思环节。

（1）刚才我们用发现的规律解决了较复杂的植树问题，请大家一起回忆一下刚才的学习过程，边演示边提问：我们用了哪些方法来研究？

生1：画线段图；生2：列出了表格；生3：找植树棵数与间隔数之间的规律。师：是的，通过画图、列表找到植树棵数和间隔数之间的规律后，最后用规律来解决这样一个比较复杂的问题。

（2）师：想一想当遇到比较复杂的问题时，我们可以怎么办？生4：可以先想简单的问题；生5：可以画图找规律。课件出示：简化

（3）师：看来当遇到比较复杂的问题时，可以先从简单的问题入手，画出示意图，找到其中的规律，然后应用规律解决问题。这是学习数学、思考问题时一种重要的方法。……

为让学生体验到数学建模思想，光靠体验感悟，学生恐怕还是印象不深，为此，在尝试解决问题基础上，教者组织了回顾反思学习过程，设计策略性的问题，将“明确问题——探究规律——建立模型——解决问题”的思维过程以图文结合的方法清晰地展现出来，并且将研究植树问题中蕴涵的数学方法和策略直观呈现，以利于强化学生的认知，拓展解决问题的策略和方法，形成策略意识。

在让学生感受了植树问题的解决策略后，设计由植树问题变式的问题，如装路灯问题、上楼梯问题、锯木头问题、排队问题等，让学生进一步运用“模型思想”迁移解决类似植树问题，在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法。

问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的渗透和建立。

“数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。”要真正发挥数学教材渗透数学建模思想的作用，需要数学教师进一步更新观念，加强学习，促进自身数学素养的不断提升；深入研读教材，提高建模思想渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复性，让学生的数学建模思维能力得到切实、有效的发展，进而提高学生的数学文化素养。综上所述，小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。通过建模教学，可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次。同时，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。因此在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。

五、课题研究带来的变化

该课题实施一年来，学生的学习行为、思维方式发生了很大的变化，数学课堂一改往日的沉闷，变得充满生机和活力。

1、学生对数学的学习兴趣变得浓厚，喜欢钻研数学，喜欢办数学小报，写数学日记等。能够从生活中提出数学问题，然后再把这些问题移进课堂。遇到生活类的数学题做得得心应手了。

2、数学课堂变得热闹起来，学生在课堂上动脑、动口、动手，数学课不再是单一的数字游戏，而变得让学生感到亲切、真实。2、数学建模方法提高了学生数学应用能力。培养了学生的创新思维和科学精神，有效地加强了学生解决实际问题的信心和能力。

3、数学建模方法培养了学生的动手能力。将数学建模方法引入小学数学教学中，顺应了当前教学改革和素质教育的要求。学生通过“数学建模”课程的学习，不仅积累了解答问题的经验、培养了分析问题和解答问题的能力，更能够提高学生学习数学的兴趣和应用数学的能力和意识。同时，数学建模方法的引入也改变了过去以知识传授为主、以教师为中心、以课堂讲授为主的传统教学模式，将课堂教学的主体地位归还给学生，学生的学习层次实现质的“飞跃”，学习负担减轻了，思维拓展了，能力增强了，学习成绩提高了。

4、数学建模方法培养了学生的观察力和想象力。利用数学建模思想解决现实问题，首先要将生活问题数学化，这除了要求学生要有一定的生活经验和知识外，还要有敏锐的观察力和丰富的想象力。

5、数学建模方法培养了学生解决问题的能力。在数学建模中，学生通过对各种各样数学建模思想的领悟、观察、比较，使学生产生自与众不同的见解和独特的思考方法，例如善于发现问题，分析问题，解决问题，从而培养学生解决实际问题的能力。

6、我校数学教师在平时的教学实践中，能够立足于学生的现实生活，有效利用生活资源进行备课、教学。教学方法变得灵活多样，教学手段贴近学生现实生活，一改过去较为单一的“讲授式”变成现在的“表演式”、“讨论式”、“体验式”、“设计式”、“观察式”等。

六、进一步研究的思考

建立模型思想是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。学然后知不足，教然后知困。通过对于此次小课题研究活动，使我们懂得了数学建模过程是数学教学的核心目标之一，使我们理解了模型思想的意义与策略、方法与途径，尤其是对数学教学的重要作用，甚至对自己的工作、生活、学习，都有很多模型思想，几乎无处不在。本课题的研究，经过全体数学老师的研究实践，虽然总结出了一些可操作的建模思想在小学数学教学中的渗透的策略，但尚处于起步、探索阶段，任然缺乏相外推介的力度，还有待于我们进一步的探讨和研究。我们清醒看到，自己对于数学教学和研讨领域仍存在“死角”， 例如在研究中我们发现，在理论研讨时对建模思想理论知识不全面，在课题申报完成过程中，许多教师对于“课题”工作的未知领域太大。今后，应积极和上级课题工作主管部门联系，多申报、多学习、多研讨、多实践、多总结，将自己的思想理念、理论知识、方法能力和课题研讨等方面更加专业化、常态化、精细化，并尽全力地去克服研究中存在的问题，使我们的课题研究真正落到实处。课题研讨工作不是过去式，更没有完成时，它将永远伴随着我们每一位教师、每一所学校的发展与成长！

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育课程标准（2011年版）解读》.北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]宁夏教育厅教研室.《义务教育学科教学指导》（小学数学）.黄河出版社出版，2013.

[4]史宁中.《数学思想概论》. 东北师范大学出版社，2013.

[5]邵光华.《作为教育任务的数学思想与方法》. 上海教育出版社，2009.

[6]张景中.《感受小学数学思想的力量》.《人民教育》.2007（18）.32一35.